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        1. 已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N+)的圖象與x軸,y軸無交點且關(guān)于原點對稱,又有函數(shù)f(x)=x2-alnx+m-2在(1,2]上是增函數(shù),g(x)=x-a
          x
          在(0,1)上為減函數(shù).
          ①求a的值;
          ②若
          1
          p(x)
          =2f′(x)-2x+
          5
          x
          +1
          ,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=p(an),(n∈N+),數(shù)列{bn},滿足bn=
          1
          2
          anan+13n
          ,sn=b1+b2+b3+…+bn,求數(shù)列{an}的通項公式an和sn
          ③設(shè)h(x)=f′(x)-g(x)-2
          x
          +
          3
          x
          ,試比較[h(x)]n+2與h(xn)+2n的大小(n∈N+),并說明理由.
          分析:①由冪函數(shù)的定義和已知條件求得正整數(shù)m=2.根據(jù)f′(x)=2x-
          a
          x
          ≥0對于區(qū)間(1,2]恒成立,求得a≤2.再根據(jù)g′(x)=1-
          a
          2
          x
          ≤0對于區(qū)間(0,1)恒成立,求得 a≥2.綜上,可得a的值.
          ②由p(x)=
          x
          x+3
          ,可得
          1
          an+1
          +
          1
          2
          =3(
          1
          an
          +
          1
          2
          ),故數(shù)列{
          1
          an
          +
          1
          2
          }是公比為3的等比數(shù)列,且首項為
          3
          2
          .根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得 an=
          2
          3n-1
          .再由 bn=
          1
          2
          anan+13n
          =
          1
          3n-1
          -
          1
          3n+1-1
          ,用裂項法求得Sn=b1+b2+b3+…+bn的值.
          ③根據(jù)h(x)=x+
          1
          x
          ,當(dāng)n≥2時,[h(x)]n-h(xn)=(x+
          1
          x
          )
          n
          -(xn+
          1
          xn
          ) 利用二項式定理化為=
          1
          2
          [
          C
          1
          n
          xn-2+
          1
          xn-2
          )+
          C
          2
          n
          xn-4+
          1
          xn-4
          )+…+
          C
          n-1
          n
          x2-n+
          1
          x2-n
          )]≥
          C
          1
          n
          +
          C
          2
          n
          +
          C
          3
          n
          +…+
          C
          n-1
          n
          =2n-2,即可比較比較[h(x)]n+2≥h(xn)+2n的大。╪∈N+).
          解答:解:①由冪函數(shù)的定義和已知條件可得m2-2m-3為負(fù)奇數(shù),故有正整數(shù)m=2.
          由于函數(shù)f(x)=x2-alnx+m-2在(1,2]上是增函數(shù),故f′(x)=2x-
          a
          x
          ≥0對于區(qū)間(1,2]恒成立,∴a≤2.
          由g(x)=x-a
          x
          在(0,1)上為減函數(shù),可得g′(x)=1-
          a
          2
          x
          ≤0對于區(qū)間(0,1)恒成立,∴a≥2.
          綜上,可得 a=2.
          ②∵p(x)=
          x
          x+3
          ,∴an+1=
          an
          an+3
          ,∴
          1
          an+1
          +
          1
          2
          =3(
          1
          an
          +
          1
          2
          ),故數(shù)列{
          1
          an
          +
          1
          2
          }是公比為3的等比數(shù)列,且首項為
          3
          2

          ∴an+
          1
          2
          =
          3
          2
          •3n-1,∴an=
          2
          3n-1

          再由 bn=
          1
          2
          anan+13n
          =
          2×3n
          (3n-1)(3n+1-1)
          =
          1
          3n-1
          -
          1
          3n+1-1
          ,可得
          Sn=b1+b2+b3+…+bn,=(
          1
          3-1
          -
          1
          32-1
          )+(
          1
          32-1
          -
          1
          33-1
          )+(
          1
          33-1
          -
          1
          34-1
          )+…+(
          1
          3n-1
          -
          1
          3n+1-1
          )=
          1
          2
          -
          1
          3n+1-1

          ③設(shè)h(x)=f′(x)-g(x)-2
          x
          +
          3
          x
          =(x2-2lnx)′-x+2
          x
          -2
          x
          +
          3
          x
          =x+
          1
          x

          當(dāng)n≥2時,[h(x)]n-h(xn)=(x+
          1
          x
          )
          n
          -(xn+
          1
          xn
          )=
          C
          0
          n
          •xn-0•(
          1
          x
          )
          0
          +
          C
          1
          n
          •xn-1•(
          1
          x
          )
          1
          +
          C
          2
          n
          •xn-2•(
          1
          x
          )
          2
          +…+
          C
          n
          n
          •xn-n•(
          1
          x
          )
          n
          -(xn+
          1
          xn

          =
          C
          1
          n
          •xn-2
          +
          C
          2
          n
          •xn-4
          +
          C
          3
          n
          •xn-6
          +…+
          C
          n-1
          n
          •x2-n
          =
          1
          2
          [
          C
          1
          n
          xn-2+
          1
          xn-2
          )+
          C
          2
          n
          xn-4+
          1
          xn-4
          )+…+
          C
          n-1
          n
          x2-n+
          1
          x2-n
          )]
          C
          1
          n
          +
          C
          2
          n
          +
          C
          3
          n
          +…+
          C
          n-1
          n
          =2n-2,
          試比較[h(x)]n+2≥h(xn)+2n的大小(n∈N+).
          點評:本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,用裂項法進(jìn)行數(shù)列求和,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),比較兩個式子的大小的方法,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù).
          (1)求m的值;
          (2)求滿足(a+1)-
          m
          3
          <(3-2a)-
          m
          3
          的a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),求滿足(a+1)
          m
          3
          <(3-2a)
          m
          3
          的實數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知冪函數(shù)y=xm2-m-6(m∈Z)的圖象與x軸無公共點,則m的值的取值范圍是(  )

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈Z)的圖象與x軸、y軸都無公共點,且關(guān)于y軸對稱,則m=
          -1、1、3
          -1、1、3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知冪函數(shù)y=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)m的值.

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