Question

設(shè)a≥0，函數(shù)f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g（x）=2-a-x-。
（I）當(dāng)a≥1時(shí)，求f（x）的最小值；
（II）假設(shè)存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∵，
∴時(shí)，f（x）遞增，
時(shí)，f（x）遞減，
時(shí)，f（x）遞增，
所以f（1）的極大值點(diǎn)為x₁=-a，極小值點(diǎn)為x₂=1，
而，
由于，對(duì)二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)x>-a時(shí)，f（x）的最小值為，
所以，f（x）的最小值是；
（II）由（Ⅰ）知f（x）在的值域是：
當(dāng)a≥1時(shí)，為，當(dāng)時(shí)，為；
而在的值域是為，
所以，當(dāng)時(shí)，令，并解得，
當(dāng)時(shí)，令，無解，
因此，a的取值范圍是。