Question

函數(shù)f（x）=|e^x-bx|，其中e為自然對數(shù)的底．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數(shù)y=f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)b＞0時(shí)，判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，2）上是否存在極大值．若存在，求出極大值及相應(yīng)實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）記g（x）=e^x-bx．
當(dāng)b=1時(shí)，g′（x）=e^x-1．
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
又g（0）=1＞0，所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）＞0．
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=|g（x）|=g（x），
所以f′（1）=g′（1）=e-1．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，e-1）處的切線方程為：y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x． …（4分）
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個(gè)解，即方程e^x-bx=0有且只有一個(gè)解．
因?yàn)閤=0不滿足方程，所以方程同解于b=． …（6分）
令h（x）=，由h′（x）==0得x=1．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程b=有且只有一解等價(jià)于b=e．…（8分）
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=有且只有一解等價(jià)于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}． …（10分）
（3）由g′（x）=e^x-b=0，得x=lnb．
當(dāng)x∈（-∞，lnb）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（lnb，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
所以在x=lnb時(shí)，g（x）取極小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）．
①當(dāng)0＜b≤e時(shí)，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0，從而當(dāng)x∈R時(shí)，g（x）≥0．
所以f（x）=|g（x）|=g（x）在（-∞，+∞）上無極大值．
因此，在x∈（0，2）上也無極大值． …（12分）
②當(dāng)b＞e時(shí)，g（lnb）＜0．
因?yàn)間（0）=1＞0，g（2lnb）=b²-2blnb=b（b-2lnb）＞0，
（令k（x）=x-2lnx．由k′（x）=1-=0得x=2，從而當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，k（x）單調(diào)遞增，
又k（e）=e-2＞0，所以當(dāng)b＞e時(shí)，b-2lnb＞0．）
所以存在x₁∈（0，lnb），x₂∈（lnb，2lnb），使得g（x₁）=g（x₂）=0．
此時(shí)f（x）=|g（x）|=
所以f（x）在（-∞，x₁）單調(diào)遞減，在（x₁，lnb）上單調(diào)遞增，在（lnb，x₂）單調(diào)遞減，在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增． …（14分）
所以在x=lnb時(shí)，f（x）有極大值．
因?yàn)閤∈（0，2），所以當(dāng)lnb＜2，即e＜b＜e²時(shí)，f（x）在（0，2）上有極大值；
當(dāng)lnb≥2，即b≥e² 時(shí)，f（x）在（0，2）上不存在極大值．
綜上所述，在區(qū)間（0，2）上，當(dāng)0＜b≤e或b≥e²時(shí)，函數(shù)y=f（x）不存在極大值；
當(dāng)e＜b＜e²時(shí)，函數(shù)y=f（x），在x=lnb時(shí)取極大值f（lnb）=b（lnb-1）．…（16分）
分析：（1）記g（x）=e^x-bx，當(dāng)b=1時(shí)，g′（x）=e^x-1，從而可得f′（1）=g′（1）=e-1，由此可求切線方程；
（2）f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個(gè)解，即方程e^x-bx=0有且只有一個(gè)解，因?yàn)閤=0不滿足方程，所以方程同解于b=，分類討論可得當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程有且只有一解等價(jià)于b=e；當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，方程有且只有一解等價(jià)于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍；
（3）由g′（x）=e^x-b=0，得x=lnb，從而可得在x=lnb時(shí)，g（x）取極小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb），再分類討論，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．