Question

f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，如果f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的是不等式、函數(shù)性質(zhì)以及恒成立有關(guān)的綜合類問題．在解答時，應(yīng)先分析好函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合條件f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，將問題轉(zhuǎn)化為有關(guān) x的不等式在[

1

2

，1]上恒成立的問題，在進(jìn)行解答即可獲得問題的解答．

解答：解：由題意可知：f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，
∴由f（ax+1）≤f（x-2）在[

1

2

，1]上恒成立，
可知：|ax+1|≤|x-2|在[

1

2

，1]上恒成立，
∴

-|x-2|-1

x

≤a≤

|x-2|-1

x

在[

1

2

，1]上恒成立，
∴-2≤a≤0．
故答案為：[-2，0]．

點評：本題考查的是不等式、函數(shù)性質(zhì)以及恒成立有關(guān)的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)、恒成立的思想以及問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會與反思．