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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c.
          (1)若對(duì)任意x1,x2∈R,且x1<x2,都有f(x1)≠f(x2),求證:關(guān)于x的方程f(x)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且必有一個(gè)根屬于(x1,x2);
          (2)若關(guān)于x的方程f(x)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          在(x1,x2)的根為m,且x1,m-
          1
          2
          ,x2
          成等差數(shù)列,設(shè)函數(shù)f (x)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=x0,求證:x0<m2
          分析:(1)通過(guò)計(jì)算一元二次方程的判別式大于0,可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;設(shè)方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x),由
          g(x1)g(x2)<0,可得方程有一個(gè)根屬于(x1,x2).
          (2)由題意可得f(m)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          ,即a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,由x1,m-
          1
          2
          、x2成等差數(shù)列,可得 x1+x2=2m-1,故b=-a(2m2-x12-x22),由x0=-
          b
          2a
          =
          2m2-(
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          )
          2
          =m2-
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          2
          證得結(jié)論.
          解答:證明:(1)∵f(x)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          ,∴ax2+bx+c=
          1
          2
          [a
          x
          2
          1
          +bx1+c+a
          x
          2
          2
          +bx2+c]
          ,
          整理得:2ax2+2bx-a(x12+x22)-b(x1+x2)=0,(2分)
          ∴△=4b2+8a[a(x12+x22)+b(x1+x2)]=2[(2ax1+b)2+(2ax2+b)2],
          ∵x1,x2∈R,x1<x2,∴2ax1+b≠2ax2+b,(4分)
          ∵△>0,故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.                    (6分)
          g(x)=f(x)-
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          ,(7分)
          g(x1)g(x2)=-
          1
          4
          [f(x1)-f(x2)]2
          ,
          又f(x1)≠f(x2),則g(x1)g(x2)<0,
          故方程f(x)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          有一個(gè)根屬于(x1,x2).         (9分)
          (2)∵方程f(x)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          在(x1,x2)根為m,
          f(m)=
          1
          2
          [f(x1)+f(x2)]
          ,∴a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,(10分)
          x1,m-
          1
          2
          、x2成等差數(shù)列,則x1+x2=2m-1,(12分)
          ∴b=-a(2m2-x12-x22),
          x0=-
          b
          2a
          =
          2m2-(
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          )
          2
          =m2-
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          2
          m2
          .                    (14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),等差數(shù)列的性質(zhì),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
          (Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案