Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，雙曲線x²-y²=1的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為

x2

20

+

y2

5

=1

．

Answer 1

分析：由題意，雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x，根據(jù)以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，可得（2，2）在橢圓上，利用e=

3

2

，即可求得橢圓方程．

解答：解：由題意，雙曲線x²-y²=1的漸近線方程為y=±x
∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，故邊長為4，
∴（2，2）在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上
∴

4

a2

+

4

b2

=1
∵e=

3

2

，∴

a2-b2

a2

=

3

4

，∴a²=4b²
∴a²=20，b²=5
∴橢圓方程為：

x2

20

+

y2

5

=1
故答案為：

x2

20

+

y2

5

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，正確運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵．