Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+x-

1

4

．
（1）若函數(shù)的定義域?yàn)閇0，3]，求f（x）的值域；
（2）若定義域?yàn)閇a，a+1]時(shí)，f（x）的值域是[-

1

2

，

1

16

]，求a的值．

Answer 1

分析：本題考查二次函數(shù)的值域問(wèn)題，第（1）小問(wèn)考查的是定軸定區(qū)間的值域問(wèn)題，比較容易，第（2）小問(wèn)是值域逆向問(wèn)題，由于區(qū)間含有參數(shù)a，所以需要對(duì)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論，有時(shí)還需要考慮區(qū)間的中點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系．

解答：解：（1）∵f（x）=(x+

1

2

)2-

1

2

，
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=-

1

2

．∵-

1

2

＜0≤x≤3，
∴f（x）的值域是[f（0），f（3）]，即[-

1

4

，

47

4

]．
（2）∵f（x）的最小值為-

1

2

，
∴對(duì)稱(chēng)軸x=-

1

2

∈[a，a+1]．
∴

a≤ - 1 2 a+1≥- 1 2

解得-

3

2

≤a≤-

1

2

．
∵區(qū)間[a，a+1]的中點(diǎn)為x₀=a+

1

2

，
當(dāng)a+

1

2

≥-

1

2

，即-1≤a≤-

1

2

時(shí)，
f（x）最大值為f（a+1）=

1

16

．
∴（a+1）²+（a+1）-

1

4

=

1

16

．
∴16a²+48a+27=0．
∴a=-

3

4

(a=-

9

4

舍去)．
當(dāng)a+

1

2

＜-

1

2

，即-

3

2

≤a＜-1時(shí)，
f（x）最大值為f（a）=

1

16

，
∴a²+a-

1

4

=

1

16

．
∴16a²+16a-5=0．
∴a=-

5

4

(a=

1

4

舍去)．
綜上知a=-

3

4

或a=-

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及的主要數(shù)學(xué)思想是分類(lèi)討論的思想，對(duì)于分類(lèi)討論的題目，我們要弄清楚分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)不漏掉；