Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；

（2）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最小值為，得到答案.

（2）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，計(jì)算函數(shù)的最值得到答案.

（1），，

故當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故，即在上恒成立.

（2）依題意，，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，所以有唯一零點(diǎn)，即符合題意；

②當(dāng)時(shí)，令，解得，

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故，

（�。┊�(dāng)，即時(shí)，，故符合題意；

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，，

因?yàn)?/span>，且，故，

故存在，使得，故不符合題意；

（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，，

因?yàn)?/span>，

設(shè)，則，

故，所以單調(diào)遞增，即，故，

又，所以，故存在，使得，

所以不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.