Question

設函數(shù)（a∈R）[
（Ⅰ）若y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于，求a的值；
（II）當a＜2時，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（I）∵f'（x）=（a-1）x²-ax+1，∴f'（1）=（a-1）+1-a=0
又∵f（1）=（a-1）-a+1=-，
∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的方程為y=-，
由，得，
則切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于×=，
解得，a=7或a=1．
（II）f'（x）=（a-1）x²-ax+1=（x-1）[（a-1）x-1]
①當a=1時，f′（x）=1-x，則f（x）在（-∞，1]上是增函數(shù)，在[1，+∞）上是減函數(shù)；
②當1＜a＜2時，f′（x）≤0得1≤a≤，則f（x）在（-∞，1]、[，+∞）上是增函數(shù)，在[1，]上是減函數(shù)；
③當a＜1時，f′（x）≥0得≤a≤1，則f（x）在（-∞，]，[1，+∞）上是減函數(shù)，在[，1]上是增函數(shù)．
分析：（I）由題目條件知，點P（1，f（1））為切點，且函數(shù)在該點處的導數(shù)值為切線的斜率，求出切線方程，利用切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積，從而建立關于a的方程，可求得a的值；
（II）由函數(shù)及其導數(shù)的解析式，解不等式f'（x）＞0與f'（x）＜0，可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了導數(shù)的幾何意義，以及學生靈活轉化題目條件的能力，屬于中檔題．