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        1. (2012•楊浦區(qū)二模)已知數(shù)列An:a1,a2,…,an.如果數(shù)列Bn:b1,b2,…,bn滿足b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,其中k=2,3,…,n,則稱Bn為An的“生成數(shù)列”.
          (1)若數(shù)列A4:a1,a2,a3,a4的“生成數(shù)列”是B4:5,-2,7,2,求A4;
          (2)若n為偶數(shù),且An的“生成數(shù)列”是Bn,證明:Bn的“生成數(shù)列”是An;
          (3)若n為奇數(shù),且An的“生成數(shù)列”是Bn,Bn的“生成數(shù)列”是Cn,….依次將數(shù)列An,Bn,Cn,…的第i(i=1,2,…,n)項取出,構成數(shù)列Ωi:ai,bi,ci,…證明:數(shù)列Ωi是等差數(shù)列,并說明理由.
          分析:本題是新定義問題.
          對于(1),根據(jù)題目給出的新定義,列有關a1,a2,a3,a4,的方程組求解;
          對于(2),可采用兩種證明方法,方法①可根據(jù)題目給出的條件,b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,分析歸納得到想bi=ai+(-1)i(a1-an),然后用數(shù)學歸納法證明該式成立,由此衍生新生成數(shù)列Cn,進一步說明Cn就是An,也可依據(jù)已知寫出b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3…,消去偶數(shù)式求證;
          對于(3),欲證數(shù)列Ωi是等差數(shù)列,可設數(shù)列Xn,Yn,Zn中后者是前者的“生成數(shù)列”.欲證Ωn成等差數(shù)列,只需證明xn,yn,zn成等差數(shù)列,即只要證明2yi=xi+zi(i=1,2,…,n)即可.
          解答:解:(1)由題意得,b1=a4=5,b2=-2=a2+a1-5,b3=7=a3-a1+5,b4=2=a4+a1-5,
          所以A4:2,1,4,5
          (2)證法一:
          證明:由已知,b1=a1-(a1-an),b2=a1+a2-b1=a2+(a1-a2
          因此,猜想bi=ai+(-1)i(a1-an)
          ①當i=1時,b1=a1-(a1-an),猜想成立;
          ②假設i=k(k∈N*時,bk=ak+(-1)k(a1-an)
          當i=k+1時,bk=ak+ak+1-[ak+(-1)k(a1-an)]
          =ak+ak+1-ak-(-1)k(a1-an)
          =ak+1+(-1)k(a1-an)
          故當i=k+1時猜想也成立.
          由 ①、②可知,對于任意正整數(shù)i,有bi=ai+(-1)i(a1-an)
          設數(shù)列Bn的“生成數(shù)列”為Cn,則由以上結論可知
          ci=bi+(-1)i(b1-bn)=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(b1-bn),其中i=1,2,3…n.
          由于n為偶數(shù),所以bn=an+(-1)n(a1-an)=a1,
          所以ci=ai+(-1)i(a1-an)+(-1)i(an-a1)=ai,其中i=1,2,3,…,n.
          因此,數(shù)列Cn即是數(shù)列An
          證法二:
          因為b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3
          …bn-1+bn=an-1+an,…
          由于n為偶數(shù),將上述n個等式中的第2,4,6,…,n這
          n
          2
          個式子都乘以-1,相加得
          b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…-(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…-(an-1+an
          即-bn=-a1,∴bn=a1
          由于a1=bn,ai=bi-1+bi-ai-1(i=1,2…,n)
          根據(jù)“生成數(shù)列”的定義知,數(shù)列An是Bn的“生成數(shù)列”.
          (3)證明:設數(shù)列Xn,Yn,Zn中后者是前者的“生成數(shù)列”.欲證Ωn成等差數(shù)列,只需證明xn,yn,zn成等差數(shù)列,即只要證明2yi=xi+zi(i=1,2,…,n)即可
          由(2)中結論可知yi=xi+(-1)i(x1-xn)
          zi=yi+(-1)i(y1-yn)
          =xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(y1-yn)
          =xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i[xn-xn-(-1)n(x1-xn)]
          =xi+(-1)i(x1-xn)+(-1)i(x1-xn)
          =xi+2(-1)i(x1-xn),
          所以,xi+zi=2xi+2(-1)i(x1-xn)=2yi,即xi,yi,zi成等差數(shù)列,
          所以Ωn是等差數(shù)列.
          點評:本題考查數(shù)列的綜合應用,解題時要認真審題,仔細解答,避免錯誤.
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          Mm
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          .當燃料質量是火箭質量的
          e6-1
          e6-1
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          S2
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