Question

函數(shù)f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-2(x∈R)的單調(diào)減區(qū)間是

[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z

．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式的第一項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，再利用誘導(dǎo)公式變形，去括號合并后，提取4，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ-+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：f(x)=4sin2(

π

4

+x)-2

3

cos2x-2
=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

cos2x-2
=4（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）
=4sin（2x-

π

3

），
當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，即kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

時(shí)，
正弦函數(shù)sin（2x-

π

3

）單調(diào)遞減，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z．
故答案為：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z

點(diǎn)評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．