Question

已知數(shù)列{a_n}，其中a₁=1，a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn=log3(

an

9n

)其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)對(duì)已知等式的兩邊取對(duì)手得到a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），通過(guò)累加求和的方法得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）將（1）中的結(jié)果代入Sn=log3(

an

9n

)并化簡(jiǎn)，利用通項(xiàng)與和的關(guān)系求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）通過(guò)對(duì)n的討論判斷出b_n的符號(hào)，然后將T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．的絕對(duì)值符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的問(wèn)題，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出值．

解答：解：（1）因?yàn)閍_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），
所以log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），
a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），累加得log3an-log3a1=1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

2

，
∴log3an=

n(n-1)

2

，則an=3

n(n-1)

2

（2）

而b1=S1=-2，當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=n-3，n=1時(shí)也適合， 所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n-3(n∈N*)

(3)當(dāng)bn=n-3≤0，即n≤3時(shí)，Tn=-Sn= 5n-n2 2 ， 當(dāng)bn=n-3＞0，即n＞3時(shí)，

Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=(b1+b2+…+bn)-(b1+b2+b3)=Sn-2S3=

n2-5n+12

2

，綜上所述Tn=

5n-n2 2 (n≤3，且n∈N*) n2-5n+12 2 (n＞3，且n∈N).

點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，應(yīng)該先求出數(shù)列的通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)然后選擇合適的求和方法進(jìn)行計(jì)算．