Question

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=

5

，c=3，sin(B+C)=2sinB．
（I）求邊a的長(zhǎng)；
（II）求cos(B+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（I）在三角形中，應(yīng)用正弦定理寫(xiě)出關(guān)系式，根據(jù)sin（B+C）=2sinB及B+C=π-A得sinA=2sinB，表示出a得到結(jié)果．
（II）根據(jù)余弦定理做出角B的余弦值，是一個(gè)正數(shù)，得到這個(gè)角是一個(gè)銳角，根據(jù)兩個(gè)角之間的關(guān)系求出正弦值，再把要求的式子用兩角之和的余弦公式展開(kāi)，得到結(jié)果．

解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

．
由sin（B+C）=2sinB及B+C=π-A得sinA=2sinB．
∴a=

bsinA

sinB

=

2bsinB

sinB

=2b=2

5

．
（II）在△ABC中，由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

(2 5 )2+32-( 5 )2

2×3×2 5

=

2 5

5

．
∴sinB=

1-cos2B

=

5

5

．
∴cos(B+

π

6

)=cosBcos

π

6

-sinBsin

π

6

=

2 5

5

×

3

2

-

5

5

×

1

2

=

2 15 - 5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的問(wèn)題和三角函數(shù)的恒等變形，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，注意角的范圍的分析．