Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+（A＞0，ω＞0）圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與x軸交于點(diǎn)（），若φ∈（）．
（1）試求這條曲線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求函數(shù)的對稱中心；
（3）用”五點(diǎn)法”畫出（1）中函數(shù)在[0，π]上的圖象；
（4）試說明y=sin2x的圖象是由y=f（x）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)條件中所給的函數(shù)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出振幅，根據(jù)兩個(gè)相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)寫出周期，把一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出初相，寫出解析式．
（2）根據(jù)正弦曲線的對稱中心，使得函數(shù)的自變量等于對稱中心的橫標(biāo)求出結(jié)果，注意縱標(biāo)是．
（4）y=f（x）先向下平移個(gè)單位得到f（x）=sin（2x+）再橫標(biāo)不變縱標(biāo)變化為原來的得到f（x）=sin（2x+）再向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2x．
解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（），
則此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與平衡軸交于點(diǎn)（），
∴A=，，
∴T=π，ω=2
∴f（x）=sin（2x+φ）+
∵過（）點(diǎn)，
∴2=sin（2x+φ）+
∵φ∈（）．
∴φ=，
∴函數(shù)的解析式是f（x）=sin（2x+）+
（2）∵正弦曲線的對稱中心是（kπ，0）
∴2x+=kπ，k∈z
∴x=，
∴函數(shù)的對稱中心是（，）
（3）

x	0					π
2x+			π		2π
f（x）	1+	2		0		1+

圖形如右圖

（4）y=f（x）先向下平移個(gè)單位得到
f（x）=sin（2x+）再橫標(biāo)不變縱標(biāo)變化為原來的得到
f（x）=sin（2x+）再向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2x
點(diǎn)評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，解題的關(guān)鍵是從題設(shè)的條件中求出A，ω，φ這幾個(gè)量來，本題考查到了求曲線的對稱中心以及五點(diǎn)法作圖，圖象的變換，本題基本上涉及了三角函數(shù)的重要知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，求φ是本題中的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，由于本題代入的點(diǎn)是頂點(diǎn)，求解時(shí)情況只有一種，若不是頂點(diǎn)時(shí)要注意代入的點(diǎn)是增區(qū)間上的點(diǎn)還是減區(qū)間上的點(diǎn)，以確定相位的值，求出正確的φ．