Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 圖象過(guò)點(diǎn)（﹣1，2），且在該點(diǎn)處的切線與直線x﹣5y+1=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=﹣x3+x2+bx+c，則f′（x）=﹣3x2+2x+b，

由題意知 ，解得b=c=0

（2）解：假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，

使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

則P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），

則q（﹣t，t3+t2），且t≠1．

因?yàn)椤鱌OQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以 =0，

即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0，（1）

是否存在點(diǎn)P，Q等價(jià)于方程（1）是否有解，

若0＜t＜1，則f（t）=﹣t3+t2，代入方程（1）得：t4﹣t2+1=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．

若t＞1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到 =（t+1）lnt，

設(shè)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx+ ＞0在[1，+∞）上恒成立，

所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而h（x）≥h（1）=0，

所以當(dāng)a＞0時(shí)，方程 =（t+1）lnt有解，即方程（1）有解，

所以對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，

使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上

【解析】（1）求得x＜1時(shí)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由f（﹣1）=2，解方程可得b，c的值；（2）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則q（﹣t，t3+t2），且t≠1．對(duì)t討論，t＞1，0＜t＜1，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，求得單調(diào)性，考慮方程﹣t2+f（t）（t3+t2）=0有解，即可判斷存在性．