Question

設(shè)圓C₁的方程為（x+2）²+（y-3m-2）²=4m²，直線l的方程為y=x+m+2．
（1）若m=1，求圓C₁上的點(diǎn)到直線l距離的最小值；
（2）求C₁關(guān)于l對稱的圓C₂的方程；
（3）當(dāng)m變化且m≠0時(shí)，求證：C₂的圓心在一條定直線上，并求C₂所表示的一系列圓的公切線方程．

Answer 1

分析：（1）把m=1代入圓的方程和直線l的方程，分別確定出解析式，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，發(fā)現(xiàn)d大于半徑r，故直線與圓的位置關(guān)系是相離，則圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為d-r，求出值即可；
（2）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)，設(shè)出圓心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線l的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1求出直線C₁C₂的斜率，由圓心及對稱點(diǎn)的坐標(biāo)表示出斜率，等于求出的斜率列出一個(gè)關(guān)系式，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出兩圓心的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l的方程，得到另一個(gè)關(guān)系式，兩關(guān)系式聯(lián)立即可用m表示出a與b，把表示出的a與b代入圓C₂的方程即可；
（3）由表示出的a與b消去m，得到a與b的關(guān)系式，進(jìn)而得到圓C₂的圓心在定直線x-2y=0上；分公切線的斜率不存在和存在兩種情況考慮，當(dāng)公切線斜率不存在時(shí)，容易得到公切線方程為x=0；當(dāng)公切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心（a，b）到直線y=kx+b的距離d，當(dāng)d等于圓的半徑2|m|，化簡后根據(jù)多項(xiàng)式為0時(shí)各項(xiàng)的系數(shù)為0，即可求出k與b的值，從而確定出C₂所表示的一系列圓的公切線方程，綜上，得到所有C₂所表示的一系列圓的公切線方程．

解答：解：（1）∵m=1，∴圓C₁的方程為（x+2）²+（y-5）²=4，直線l的方程為x-y+3=0，
所以圓心（-2，5）到直線l距離為：d=

|-2-5+3|

2

=2

2

＞2，
所以圓C₁上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為2

2

-2；（4分）
（2）圓C₁的圓心為C₁（-2，3m+2），設(shè)C₁關(guān)于直線l對稱點(diǎn)為C₂（a，b），
則

b-3m-2 a+2 =-1 3m+2+b 2 = a-2 2 +m+2

解得：

a=2m b=m

，
∴圓C₂的方程為（x-2m）²+（y-m）²=4m²；
（3）由

a=2m b=m

消去m得a-2b=0，
即圓C₂的圓心在定直線x-2y=0上．（9分）
①當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，易求公切線的方程為x=0；
②當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，
則

|k•2m-m+b|

1+k2

=2|m|，即（-4k-3）m²+2（2k-1）•b•m+b²=0，
∵直線y=kx+b與圓系中的所有圓都相切，所以上述方程對所有的m值都成立，
所以有：

-4k-3=0 2(2k-1)b=0 b2=0

解之得：

k=- 3 4 b=0

，
所以C₂所表示的一系列圓的公切線方程為：y=-

3

4

x，
故所求圓的公切線為x=0或y=-

3

4

x．（14分）

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及關(guān)于點(diǎn)與直線對稱的圓的方程．此題的綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生審清題意，綜合運(yùn)用方程與函數(shù)的關(guān)系，掌握直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，在作（3）時(shí)先用消去參數(shù)的方法求定直線的方程，然后采用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出C₂所表示的一系列圓的公切線方程．