Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，點M是BC的中點，點N是AA₁的中點．
（1）求證：MN∥平面A₁CD；
（2）過N，C，D三點的平面把長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截成兩部分幾何體，求所截成的兩部分幾何體的體積的比值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證法1：過MN構(gòu)造一個平面，使其平行于平面A₁CD，則可得MN∥平面A₁CD；
證法2：根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面A₁CD里面找到一條直線與MN平行即可，因為M、N均為中點，所以構(gòu)造平行線的時候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”．
（2）首先要作出這個截面，然后通過觀察可知，截面將此長方體分成了一個三棱柱與一個四棱柱，接著求出各自的體積，再求出比值即可；或者進一步觀察也能發(fā)現(xiàn)，這個三棱柱與四棱柱是等高的（因為在長方體中），所以我們其實只要求出它們的底面積的比值就可以了．
解答：（1）證法1：設(shè)點P（2）為AD（3）的中點，連接MP，NP（4）．
∵點M是BC的中點，
∴MP∥CD．
∵CD?平面A₁CD，MP?平面A₁CD，
∴MP∥平面A₁CD．（2分）
∵點N是AA₁的中點，
∴NP∥A₁D．
∵A₁D?平面A₁CD，NP?平面A₁CD，
∴NP∥平面A₁CD．（4分）
∵MP∩NP=P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，
∴平面MNP∥平面A₁CD．
∵MN?平面MNP，
∴MN∥平面A₁CD．（6分）

證法2：連接AM并延長AM與DC的延長線交于點P，連接A₁P，
∵點M是BC的中點，
∴BM=MC．
∵∠BMA=∠CMP，∠MBA=∠MCP=90°，
∴RtMBA≌RtMCP．（2分）
∴AM=MP．
∵點N是AA₁的中點，
∴MN∥A₁P．（4分）
∵A₁P?平面A₁CD，MN?平面A₁CD，
∴MN∥平面A₁CD．（6分）

（2）解：取BB₁的中點Q，連接NQ，CQ，
∵點N是AA₁的中點，
∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴NQ∥CD．
∴過N，C，D三點的平面NQCD把長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁截成兩部分幾何體，
其中一部分幾何體為直三棱柱QBC-NAD，另一部分幾何體為直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁．（8分）
∴，
∴直三棱柱QBC-NAD的體積，（10分）
∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=1×1×2=2，
∴直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁體積．（12分）
∴==．
∴所截成的兩部分幾何體的體積的比值為．（14分）
（說明：也給分）
點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力