Question

給出下列三個(gè)命題：
①若奇函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），則f（x）為周期函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=log₂x，則函數(shù)y=f（2x）與y=

1

2

g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱；
③函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

與y=lntan

x

2

是同一函數(shù)． 其中真命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及已知中f（x）=f（2-x）恒成立，可得f（x）=f（x-4），進(jìn)而由函數(shù)周期性的定義，判斷出①的真假；由已知條件分別求出函數(shù)y=f（2x）與y=

1

2

g（x）的解析式，再由同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)互為反函數(shù)，判斷出②的真假；化簡函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

的解析式，后比照兩個(gè)函數(shù)的解析式和定義域，可判斷③的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：①正確：
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
又∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=-f（x-2）=-[-f（x-2-2）=f（x-4），
∴f（x）為以4為周期的周期函數(shù)；
②正確：
∵函數(shù)f（x）=2^x，g（x）=log₂x，
∴y=f（2x）=4^x，y=

1

2

g（x）=log₄x，
即y=f（2x）與y=

1

2

g（x）互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線y=x對稱；
③錯(cuò)誤：
y=

1

2

ln

1-cosx

1+cosx

=y=ln|tan

x

2

|．
故選C

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，函數(shù)的周期性，其中③中易忽略(a2)

1

2

=

a2

=|a|，而錯(cuò)判為正確，從而錯(cuò)選D．