Question

【題目】已知曲線，直線（其中）與曲線相交于、兩點(diǎn).

（Ⅰ）若，試判斷曲線的形狀.

（Ⅱ）若，以線段、為鄰邊作平行四邊形，其中頂點(diǎn)在曲線上， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)結(jié)合所給的方程討論可得：

當(dāng)時(shí)，曲線的形狀為直線，

當(dāng)時(shí)，曲線表示以焦點(diǎn)在軸上，以為實(shí)軸，以為焦距的雙曲線，

當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當(dāng)時(shí)，表示圓心在原點(diǎn)，以為半徑的圓．

(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，曲線方程為： ，分類討論：

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去整理變形，結(jié)合題意可得，結(jié)合，可得的取值范圍是．

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ， ，曲線的形狀為直線，

當(dāng)時(shí)， ，表示以焦點(diǎn)在軸上，以為實(shí)軸，

以為焦距的雙曲線，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)，即時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當(dāng)，即時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸上，以為長軸，以為焦距的橢圓，

當(dāng)，即時(shí)，表示圓心在原點(diǎn)，以為半徑的圓．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，曲線方程為： ，

當(dāng)時(shí)， 在橢圓上，計(jì)算得出，

∴，

當(dāng)時(shí)，則，消去化簡整理得：

，

①，

設(shè)， ， 的坐標(biāo)分別為， ， ，

則， ，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

從而，化簡得： ，

經(jīng)檢驗(yàn)滿足①式，

又，

∵，∴，

∴，

∴，

綜上， 的取值范圍是．