Question

（滿分12分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B，離心率，
直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）如果ΔBMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線的方程．

Answer 1

（1）； （2）．

解析試題分析：（1）由已知，且，即，
∴，解得，∴橢圓的方程標(biāo)準(zhǔn)為；
（2）橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，

設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q，
由三角形重心的性質(zhì)知，又，
∴，故得，
求得Q的坐標(biāo)為；
設(shè)，則，
且，
以上兩式相減得，
，
故直線MN的方程為，即．
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線方程。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及橢圓的題目，在近些年高考題中是屢見不鮮，往往涉及求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，研究直線與橢圓的位置關(guān)系。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考慮定義、a,b,c,e的關(guān)系，涉及直線于橢圓位置關(guān)系問題，往往應(yīng)用韋達(dá)定理。本題利用“點(diǎn)差法”較方便的得到了直線的斜率，進(jìn)一步確定得到直線方程。