Question

如圖，已知曲線C：

x2

a2

+y2=1（a＞0），曲線C與x軸相交于A、B兩點，直線l過點B且與x軸垂直，點S是直線l上異于點B的任意一點，線段SA與曲線C交于點T，線段TB與以線段SB為直徑的圓相交于點M．
（I）若點T與點M重合，求

AT

•

AS

的值；
（II）若點O、M、S三點共線，求曲線C的方程．

Answer 1

分析：（I）設(shè)T（x₀，y₀），S（a，y₁），由點A，T，S共線，確定直線方程，求得S的坐標(biāo)，利用點T與點M重合時，有BT⊥AS，k_SA•k_BT=-1，得a的值，再利用

AT

•

AS

=AB²，即可求得結(jié)論；
（II）以線段SB為直徑的圓相交于點M點，又O、M、S三點共線，知BM⊥OS，∴BT⊥OS，由此可求a的值，從而可得曲線C的方程．

解答：解：（I）設(shè)T（x₀，y₀），S（a，y₁），則

x02

a2

+y02=1，所以y02=1-

x02

a2

由點A，T，S共線有：

y0-0

x0+a

=

y1-0

a+a

，得：y1=

2a

x0+a

y0，即S（a，

2a

x0+a

y0）
當(dāng)點T與點M重合時，有BT⊥AS，k_SA•k_BT=

y0

x0+a

×

y0

x0-a

=-1，得a=1．
∴

AT

•

AS

=AB²=（2a）²=4；
（II）以線段SB為直徑的圓相交于點M點，又O、M、S三點共線，知BM⊥OS，∴BT⊥OS
∴k_SO•k_BT=

2a x0+a y0

a

×

y0

x0-a

=-1，∴a²=2
∴所求曲線C的方程為

x2

2

+y2=1．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是確定a的值，屬于中檔題．