Question

某校從參加高二級期中考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（均為整數(shù)）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100]．后畫出如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列題：
（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；
（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分以上為及格）；若統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分；
（3）從成績是[40，50]，和[90，100分的學(xué)生中選兩人，求他們在同一分?jǐn)?shù)段的概率．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，由此能求出第四組的頻率，并能作出直方圖．
（2）依題意，60以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75．所以抽樣學(xué)生成績的合格率是75%．利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分能夠估計(jì)這次考試的平均分．
（3）分?jǐn)?shù)在[40，50]中的學(xué)生有6人，記為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，分?jǐn)?shù)在[90，100]中的學(xué)生有3人，記為b₁，b₂，b₃，兩個(gè)分?jǐn)?shù)段上的學(xué)生工9名．從9名學(xué)生中抽取兩名學(xué)生，共有36種不同的取法．其中從分?jǐn)?shù)在[40，50]中的6名學(xué)生任取兩名學(xué)生共有15種不同的取法，從分?jǐn)?shù)在[90，100]中3名學(xué)生中任取兩名學(xué)生，共有3種不同的取法．由此能求出從成績是[40，50]和[90，100]分的學(xué)生中選兩人是同一分?jǐn)?shù)段的概率．

解答：解：（1）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1，故第四組的頻率：
f₄=1-（0.025+0.015+0.01+0.005）×10=0.3．
直方圖為：

（2）依題意，60以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組，頻率和為：
（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75．
所以，抽樣學(xué)生成績的合格率是75%．
利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分為：
45•f₁+55•f₂+65•f₃+75•f₄+85•f₅+95•f₆
=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．
估計(jì)這次考試的平均分時(shí)71（分）．
（3）分?jǐn)?shù)在[40，50]中的學(xué)生有6人，記為a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，
分?jǐn)?shù)在[90，100]中的學(xué)生有3人，記為b₁，b₂，b₃，
兩個(gè)分?jǐn)?shù)段上的學(xué)生工9名．從9名學(xué)生中抽取兩名學(xué)生，有以下取法：
a₁，a₂；a₁，a₃；a₁，a₄；a₁，a₅；a₁，a₆；a₁，b₁；a₁，b₂；a₁，b₃；
a₂，a₃；a₂，a₄；a₂，a₅；a₂，a₆；a₂，b₁；a₂，b₂；a₂，b₃；
a₃，a₄；a₃，a₅；a₃，a₆；a₃，b₁；a₃，b₂；a₃，b₃；
a₄，a₅；a₄，a₆；a₄，b₁；a₄，b₂；a₄，b₃；
a₅，a₆；a₅，b₁；a₅，b₂；a₅，b₃；
a₆，b₁；a₆，b₂；a₆，b₃；
b₁，b₂；b₁，b₃；
b₂，b₃．
共有36種不同的取法
其中從分?jǐn)?shù)在[40，50]中的6名學(xué)生任取兩名學(xué)生有下列取法：
a₁，a₂；a₁，a₃；a₁，a₄；a₁，a₅；a₁，a₆；
a₂，a₃；a₂，a₄；a₂，a₅；a₂，a₆；
a₃，a₄；a₃，a₅；a₃，a₆；
a₄，a₅；a₄，a₆；
a₅，a₆．
共有15種不同的取法
從分?jǐn)?shù)在[90，100]中3名學(xué)生中任取兩名學(xué)生有下列取法：
b₁，b₂；b₁，b₃；b₂，b₃ 共有3種不同的取法
記“從成績是[40，50]和[90，100]分的學(xué)生中選兩人”為事件A，
則P（A）=

15+3

36

=

1

2

，
即從成績是[40，50]和[90，100]分的學(xué)生中選兩人是同一分?jǐn)?shù)段的概率為

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意頻率分布直方圖的應(yīng)用．