Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP，PC⊥AC．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）設二面角P-AB-C的大小為，求二面角B-AP-C的余弦值的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先 取AB中點D，連接PD，CD；根據(jù)AC=BC以及AP=BP可以得到AB⊥平面PCD進而證得PC⊥AB；
（Ⅱ）先根據(jù)二面角P-AB-C的平面角為∠PDC求出CD=，，再根據(jù)∠ACB=90°以及PC⊥AB，證得BC⊥平面PAC，作CM⊥PA，連BM，二面角B-AP-C的平面角為∠BMC，通過求三邊的長度，結合角θ的范圍在三角形BMC中即可求出二面角B-AP-C的余弦值的范圍．
解答：（Ⅰ）證明  取AB中點D，連接PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC，
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AB．
（2）解：由（1）知，二面角P-AB-C的平面角為∠PDC，
∵AC=BC=2，∠ACB=90°，
∴CD=，，
根據(jù)，∠ACB=90°以及PC⊥AB，可得BC⊥平面PAC，作CM⊥PA，連BM，
則二面角B-AP-C的平面角為∠BMC，BC=2，
又，
∴BM===；
∵θ∈[，）
∴tanθ≥．
∴．
點評：本題主要考查線線垂直的證明以及二面角的平面角及求法．解決第二問的關鍵在于先根據(jù)二面角P-AB-C的平面角為∠PDC求出CD=，，再根據(jù)∠ACB=90°以及PC⊥AB，證得BC⊥平面PAC，作CM⊥PA，連BM，得到二面角B-AP-C的平面角為∠BMC．