Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù).若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)對(duì)進(jìn)行分類討論，得到不同情況下的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間上的極值，從而得到取值范圍.

試題解析： 的定義域?yàn)?/span>，

.………………1分

①當(dāng)時(shí)，，由，

得或.

當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減.

的單調(diào)遞減區(qū)間為，.………………2分

②當(dāng)時(shí)，恒有，

的單調(diào)遞減區(qū)間為.………………3分

③當(dāng)時(shí)，.由，得或.

當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減.

的單調(diào)遞減區(qū)間為，.………………4分

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，.………………5分

（2）在上有零點(diǎn)，

即關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

令函數(shù)，，………………6分

則.

令函數(shù)，.

則在上有.

故在上單調(diào)遞增.

，………………8分

∴當(dāng)時(shí)，有即.

∴單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，有即，

單調(diào)遞增.………………10分

，，

.

∴的取值范圍為.………………12分