Question

四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖
（1）根據(jù)圖中的信息，在四棱錐P-ABCD的側(cè)面、底面和棱中，請(qǐng)把符合要求的結(jié)論填寫在空格處（每空只要求填一種）
①一對(duì)互相垂直的異面直線

PA⊥BC，或PA⊥CD

；
②一對(duì)互相垂直的平面

平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD

；
③一對(duì)互相垂直的直線和平面

PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD

；
（2）計(jì)算四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）由四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，我們易得PA是棱錐的高，由此作出這個(gè)四棱錐的圖形，能求出結(jié)果．
（2）由三視圖我們易得底面邊長(zhǎng)，及棱錐的高均為a，由此我們易求出各棱的長(zhǎng)，進(jìn)而求出各個(gè)面的面積，進(jìn)而求出四棱錐P-ABCD的表面積．

解答：解：（1）∵四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，
∴PA是棱錐的高，由此作出四棱錐，
由圖形知：①PA⊥BC，或PA⊥CD；
②平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD；
③PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD．
故答案為：①PA⊥BC，或PA⊥CD；②平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD；③PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD．
（2）由三視圖可得，三角形ABP的面積等于三角形ADP的面積且為

1

2

a²，
三角形BPC的面積等于三角形CDP的面積且為

2

2

a²，
正方形ABCD的面積為a²，
側(cè)面積為：S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD=2×

1

2

×a2+2×

1

2

×a×

2

a=（1+

2

）a²
所以可得四棱錐P-ABCD的表面積為（2+

2

）a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)由三視圖求表面積，根據(jù)三視圖及已知求出棱錐各棱長(zhǎng)的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出各面的面積，是解答本題的關(guān)鍵．