Question

已知直線y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作直線l₁垂直于x軸,動(dòng)點(diǎn)P在l₁上,且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程.
(2)若直線l₂是曲線C的一條切線,當(dāng)點(diǎn)(0,2)到直線l₂的距離最短時(shí),求直線l₂的方程.

Answer 1

(1) x²=2y(x≠0)   (2) x-y-1=0或x+y+1=

(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,-2).
∵OP⊥OQ,∴當(dāng)x=0時(shí),P,O,Q三點(diǎn)共線,不符合題意,故x≠0.當(dāng)x≠0時(shí),得k_OP·k_OQ=-1,即·=-1,化簡得x²=2y,
∴曲線C的方程為x²=2y(x≠0).
(2)∵直線l₂與曲線C相切,∴直線l₂的斜率存在.
設(shè)直線l₂的方程為y=kx+b,
由得x²-2kx-2b=0.
∵直線l₂與曲線C相切,
∴Δ=4k²+8b=0,即b=-.
點(diǎn)(0,2)到直線l₂的距離
d==·
=(+)
≥×2
=.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即k=±時(shí),等號成立.此時(shí)b=-1.
∴直線l₂的方程為x-y-1=0或x+y+1=0.