Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)，f′(x)是其導(dǎo)函數(shù)且滿足f(x)+f′(x)>2，f(1)=2，則不等式exf(x)>4+2ex的解集為_____

Answer 1

【答案】(1，+∞)

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=exf(x)﹣2ex，可結(jié)合題設(shè)證明g'(x)=ex[f(x)+f'(x)﹣2]>0，即g(x)是R上的增函數(shù)，又f(1)=2，即g(x)>g(1)，即得解.

設(shè)g(x)=exf(x)﹣2ex，

則g'(x)=exf(x)+exf'(x)﹣2ex=ex[f(x)+f'(x)﹣2]，

∵f(x)+f'(x)>2，ex>0，

∴g'(x)=ex[f(x)+f'(x)﹣2]>0，

∴g(x)是R上的增函數(shù)，

又∵f(1)=2，

∴g(1)=ef(1)﹣2e=2e+4﹣2e=4，

∴不等式exf(x)>4+2ex等價(jià)于不等式exf(x)﹣2ex>4；

即g(x)>g(1)；

∴x>1，

∴不等式exf(x)>4+2ex的解集為(1，+∞)

故答案為：(1，+∞)