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        1. 已知函數(shù),,其中無理數(shù)e=2.17828….
          (Ⅰ)若P=0,求證:f(x)>1-x;
          (Ⅱ)若在其定義域內(nèi)f(x)是單調(diào)函數(shù),求P的取值范圍;
          (Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數(shù)P,是否存在x>0,使f(x)≤g(x)成立?若存在,求出符合條件的一個x;否則說明理由.
          【答案】分析:(Ⅰ)若P=0,要證f(x)>1-x;即可轉(zhuǎn)化為lnx-x+1>0在定義域內(nèi)恒成立即可.在通過求導(dǎo),研究其單調(diào)性,看函數(shù)的最小值,只要函數(shù)的最小值大于0即可.
          (Ⅱ)若在其定義域內(nèi)f(x)是單調(diào)函數(shù),求P的取值范圍;先要明確定義域;在求導(dǎo),求導(dǎo)后,只要滿足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可.在這里要注意對參數(shù)p進(jìn)行討論.
          (Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數(shù)P,是否存在x>0,使f(x)≤g(x)成立,這種題型屬探索性問題;解決的關(guān)鍵在于弄懂題意.據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為:令,則問題等價于找一個x>0使F(x)≤0成立,
          故只需滿足函數(shù)的最小值F(x)min≤0即可.
          解答:解:(Ⅰ)證明:當(dāng)p=0時,f(x)=-lnx.
          令m(x)=lnx-x+1,則
          若0<x<1,m′(x)>0,m(x)遞增;
          若x>1,m′(x)<0,m(x)遞減,
          則x=1是m(x)的極(最)大值點(diǎn).
          于是m(x)≤m(1)=0,即lnx-x+1≤0.
          故當(dāng)p=0時,有f(x)≥1-x;(4分)
          (Ⅱ)解:對求導(dǎo),

          ①若p=0,
          則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故p=0合題意.
          ②若p>0,
          則必須,
          故當(dāng)時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
          ③若p<0,h(x)的對稱軸,
          則必須h(0)≤0,f′(x)≤0,
          故當(dāng)p<0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
          綜合上述,p的取值范圍是;
          (Ⅲ)解:令
          則問題等價于找一個x>0使F(x)≤0成立,
          故只需滿足函數(shù)的最小值F(x)min≤0即可.
          ,

          故當(dāng)時,F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)遞減;
          當(dāng)時,F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)遞增.
          于是,
          與上述要求F(x)min≤0相矛盾,故不存在符合條件的x
          點(diǎn)評:(1)若在其定義域內(nèi)f(x)是單調(diào)函數(shù),求參數(shù)的取值范圍;先要明確定義域;在求導(dǎo),求導(dǎo)后,只要滿足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可.這是通性通法.
          (2)對于區(qū)間任意給定的某區(qū)間,某代數(shù)式恒成立問題,解決的關(guān)鍵在于弄懂題意.據(jù)題意一般可可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個函數(shù),求滿足函數(shù)的最小值或者函數(shù)的最大值即可.
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          (Ⅰ)若P=0,求證:f(x)>1-x;
          (Ⅱ)若在其定義域內(nèi)f(x)是單調(diào)函數(shù),求P的取值范圍;
          (Ⅲ)對于區(qū)間(1,2)中的任意常數(shù)P,是否存在x0>0,使f(x0)≤g(x0)成立?若存在,求出符合條件的一個x0;否則說明理由.

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