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        1. (2012•房山區(qū)一模)已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,-1),離心率為
          6
          3

          (I)求橢圓G的方程;
          (II)設(shè)直線y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N.當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求m的取值范圍.
          分析:(I)先設(shè)橢圓方程,利用離心率為
          6
          3
          ,即可確定橢圓的幾何量,從而可求橢圓的方程;
          (II)直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立,利用直線與橢圓相交可得m2<3k2+1,及點(diǎn)P的坐標(biāo),從而可得AP的斜率,再分類討論,利用|AM|=|AN|,即可求得m的取值范圍.
          解答:解:(I)依題意可設(shè)橢圓方程為
          x2
          a2
          +y2=1
          (a>0),則離心率為e=
          c
          a
          =
          6
          3

          c2
          a2
          =
          2
          3
          ,而b2=1,解得a2=3,…(4分)
          故所求橢圓的方程為
          x2
          3
          +y2=1
          .…(5分)
          (II)設(shè)P(xP,yP)、M(xM,yM)、N(xN,yN),P為弦MN的中點(diǎn),
          直線y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立,消去y可得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,
          ∵直線與橢圓相交,∴△=(6mk)2-12(3k2+1)(m2-1)>0,∴m2<3k2+1,①…(7分)
          xP=-
          3mk
          3k2+1
          ,從而yP=kxP+m=
          m
          3k2+1
          ,
          (1)當(dāng)k≠0時(shí),kAP=
          yP+1
          xP
          =-
          m+3k2+1
          3mk
          (m=0不滿足題目條件)
          ∵|AM|=|AN|,∴AP⊥MN,則-
          m+3k2+1
          3mk
          =-
          1
          k
          ,即2m=3k2+1,②…(9分)
          把②代入①得m2<2m,解得0<m<2,…(10分)
          由②得k2=
          2m-1
          3
          >0
          ,解得m>
          1
          2

          1
          2
          <m<2
          …(11分)
          (2)當(dāng)k=0時(shí)
          ∵直線y=m是平行于x軸的一條直線,∴-1<m<1…(13分)
          綜上,求得m的取值范圍是-1<m<2.           …(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,聯(lián)立方程是關(guān)鍵.
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          2
          5
          5
          ,cosB=
          3
          10
          10

          (Ⅰ)求cos(A+B)的值;
          (Ⅱ)設(shè)a=
          10
          ,求△ABC的面積.

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