Question

醫(yī)生的專業(yè)能力參數(shù)K可有效衡量醫(yī)生的綜合能力，K越大，綜合能力越強(qiáng)，并規(guī)定：能力參數(shù)K不少于30稱為合格，不少于50稱為優(yōu)秀．某市衛(wèi)生管理部門(mén)隨機(jī)抽取300名醫(yī)生進(jìn)行專業(yè)能力參數(shù)考核，得到如圖所示的能力K的頻率分布直方圖：

（1）求出這個(gè)樣本的合格率、優(yōu)秀率；
（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽出一個(gè)樣本容量為20的樣本，再?gòu)倪@20名醫(yī)生中隨機(jī)選出2名．
    ①求這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率；
    ②設(shè)這2名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)合格率、優(yōu)秀率的意義即可得出；
（2）利用分層抽樣的方法、古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和期望即可得出．

解答：解：（1）解：各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
∴這個(gè)樣本的合格率為1-0.2=0.8，
優(yōu)秀率為0.15+0.1+0.05=0.3．
（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數(shù)依次為4，6，4，3，2，1．
從20名醫(yī)生中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為

C

2 20

=190，
選出的2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的方法數(shù)為

C

2 4

+

C

2 6

+

C

2 4

+

C

2 3

+

C

2 2

=31．
故這2名醫(yī)生的能力參數(shù)K為同一組的概率P=

31

190

．
②20名醫(yī)生中能力參數(shù)K為優(yōu)秀的有6人，不是優(yōu)秀的有14人．
依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則P(X=0)=

C 2 14

C 2 20

=

91

190

，P(X=1)=

C 1 14 C 1 6

C 2 20

=

42

95

，P(X=2)=

C 2 6

C 2 20

=

3

38

．
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	91 190	42 95	3 38

∴X的期望值EX=0×

91

190

+1×

42

95

+2×

3

38

=

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握合格率、優(yōu)秀率的意義、分層抽樣的方法、古典概型的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和期望是解題的關(guān)鍵．