Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上極值點的個數(shù)；

（2）若是函數(shù)的兩個極值點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在上無極值點；當(dāng)時，在上有兩個極值點；當(dāng)時，在上只有一個極值點.；（2）.

【解析】

（1）首先求導(dǎo)得到，分類討論的范圍，求其單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間即可得到極值點個數(shù).

（2）首先根據(jù)題意得到，再令，構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值，即可得到實數(shù)的取值范圍.

（1），令，

所以，，

①當(dāng)，即時，恒成立，

即，為增函數(shù)，此時在上無極值點；

②當(dāng)，即時，由得，，.

（i）若，則，

.

則，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù)，

，，為增函數(shù)，

故此時在上有兩個極值點；

（ii）若，則，

而.

則，，為增函數(shù)，

，，為減函數(shù)，

故此時在上只有一個極值點；

綜上可知，當(dāng)時，在上無極值點；

當(dāng)時，在上有兩個極值點；

當(dāng)時，在上只有一個極值點.

（2）因為是函數(shù)的兩個極值點，

所以令，得是方程的兩根，

所以，即：，，.

令，則，，

又，

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，即.

所以，即實數(shù)的取值范圍是.