Question

（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動(dòng)．當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2，1）時(shí)，

OP

的坐標(biāo)為

 

．
（2）在矩形ABCD中，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，則

AM

•

AN

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）由題意點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了2弧度，進(jìn)而可得P的坐標(biāo)，即可得向量

OP

的坐標(biāo)；
（2）建立坐標(biāo)系，設(shè)N（x，1）（0≤x≤2），由題意可得

AN

，

AM

的坐標(biāo)，進(jìn)而可得其數(shù)量積，可得范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知圓滾動(dòng)了2單位個(gè)弧長(zhǎng)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了

2

1

=2弧度，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：xP=2-cos(2-

π

2

)=2-sin2，yP=1+sin(2-

π

2

)=1-cos2．
∴

OP

=(2-sin2， 1-cos2)．
（2）如圖所示，以A為原點(diǎn)，向量

AB

所在直線為x軸，過(guò)AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，
∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）．
設(shè)N（x，1）（0≤x≤2），則|

BC

|=1，|

CN

|=2-x，|

CD

|=2．
∴由

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

得，|

BM

|=1-

1

2

x．
∴M的坐標(biāo)為(2， 1-

1

2

x)．
∴

AN

=(x， 1)， 

AM

=(2， 1-

1

2

x)．
∴

AN

•

AM

=2x+1-

1

2

x=

3

2

x+1．
∵0≤x≤2，∴1≤

3

2

x+1≤4．
∴

AN

•

AM

的取值范圍是[1，4]．
故答案為：（2-sin2，1-cos2）；[1，4]

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的應(yīng)用，涉及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．