Question

【題目】已知圓，圓，動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求的方程；

（2）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或.

【解析】

試題分析：對(duì)于（1），圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，設(shè)圓的圓心為，半徑為，由已知條件不難得到，進(jìn)而可得曲線是以為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為的橢圓，據(jù)此即可求出其方程；對(duì)于（2），首先根據(jù)已知條件圓的方程，接下來(lái)需要分直線的斜率存在與不存在兩種情況，并結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式進(jìn)行解答即可.

試題解析：由已知得圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，設(shè)圓的圓心為，半徑為.

（1）因?yàn)閳A與圓外切并且與圓內(nèi)切，所以

.

由橢圓的定義可知，曲線是以為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為.……5分

（2）對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)圓的圓心為時(shí)，.所以當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為

.

若的傾斜角為，則與軸重合，可得.

若的傾斜角不為，由知不平行于軸，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，

則，可求得，所以可設(shè).由與圓相切得，解得.

當(dāng)時(shí)，將帶入，并整理得，

解得.所以.

當(dāng)時(shí)，由圖形的對(duì)稱性可知.綜上，或.……12分