Question

（本題滿分14分） 如圖，垂直平面，，，點在上，且．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求的值．

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】解：（Ⅰ）過E點作EFAB與點F，連AF，于是EF//DC

所以EFABC，又BCABC，所以EFBC；

又，AC=1/2BC，所以 ，所以，

，所以

，所以與相似，所以，即AFBC；又AFEF=F，于是BCAEF，又AEAFE，

所以BCAE.                            ……6′

（2）解法一（空間向量法）

如右圖，以F為原點，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)E為z軸，建立空間直角坐標系，則，于是，，

，設(shè)平面ABE的法向量為，，于是，令Z₁=1，得，得.

設(shè)平面ACE的法向量為,

，于是，令Z₂=1，得，得.

……8′

思路分析：第一問中利用線面垂直 的判定定理和性質(zhì)定理求證即可。

第二問中，如右圖，以F為原點，F(xiàn)A為x軸，F(xiàn)C為y軸，F(xiàn)E為z軸，建立空間直角坐標系，則，于是，，建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量的夾角得到k的值。