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        1. 精英家教網(wǎng)三棱錐P-ABC中,PC、AC、BC兩兩垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn).
          (Ⅰ)證明平面GFE∥平面PCB;
          (Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;
          (Ⅲ)求直線PF與平面PAB所成角的大小.
          分析:(Ⅰ)證明平面GFE∥平面PCB,只需證明EF∥平面PCB,GF∥平面PCB即可;
          (Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小,利用三垂線定理,作出二面角的平面角,解三角形即可.
          (Ⅲ)求直線PF與平面PAB所成角的大小,設(shè)PB的中點(diǎn)為K,連接KC,AK,∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角.解答即可.
          或者建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積求解即可.
          解答:解:方法1:
          (Ⅰ)證明:因為E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn),
          所以EF∥BC,GF∥CP.(1分)
          因為EF、GF?平面PCB,
          所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB.
          又EF∩GF=F,
          所以平面GFE∥平面PCB.(3分)
          精英家教網(wǎng)(Ⅱ)解:過點(diǎn)C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA,垂足為H.
          連接HB.

          因為BC⊥PC,BC⊥AC,且PC∩AC=C,
          所以BC⊥平面PAC.
          所以HB⊥PA.
          所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角.(6分)
          依條件容易求出CH=
          2
          5

          所以tan∠BHC=
          1
          2
          5
          =
          5
          2

          所以∠BHC=arctan
          5
          2

          所以二面角B-AP-C的大小是arctan
          5
          2
          .(8分)

          精英家教網(wǎng)(Ⅲ)解法1:如圖,設(shè)PB的中點(diǎn)為K,
          連接KC,AK,因為△PCB為等腰直角三角形,
          所以KC⊥PB.
          又AC⊥PC,AC⊥BC,且PC∩BC=C,
          所以AC⊥平面PCB.
          所以AK⊥PB.
          因為AK∩KC=K,
          所以PB⊥平面AKC.
          又PB?平面PAB,
          所以平面AKC⊥平面PAB.
          在平面AKC內(nèi),過點(diǎn)F作FM⊥AK,垂足為M.
          因為平面AKC⊥平面PAB,
          所以FM⊥平面PAB.
          連接PM,
          所以∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角.(11分)
          容易求出PF=
          2
          ,F(xiàn)M=
          1
          3

          所以sin∠MPF=
          1
          3
          2
          =
          2
          6

          所以∠MPF=arcsin
          2
          6

          即直線PF與平面PAB所成的角的大小是arcsin
          2
          6
          .(13分)

          精英家教網(wǎng)(Ⅲ)解法2:連接FB,
          因為PC⊥BC,PC⊥AC,且BC∩AC=C,
          所以PC⊥平面ABC.
          即PC是三棱錐P-ABF的高.
          依條件知VP-ABF=
          1
          3
          ×PC×(
          1
          2
          ×AF×BC)
          =
          1
          3
          ×1×(
          1
          2
          ×1×1)=
          1
          6

          又VF-PAB=
          1
          3
          ×h×S△PAB(其中h是點(diǎn)F到平面PAB的距離)
          =
          1
          3
          ×h×(
          1
          2
          ×
          2
          ×
          3
          2
          )=
          1
          3
          ×h×
          3
          2
          =
          1
          2
          h,
          所以由
          1
          6
          =
          1
          2
          h解得h=
          1
          3
          .(11分)
          設(shè)PF與平面PAB所成的角為α,
          又PF=
          2
          ,
          所以sinα=
          h
          PF
          =
          1
          3
          2
          =
          2
          6

          所以α=arcsin
          2
          6

          即直線AC與平面PAB所成角大小是arcsin
          2
          6
          .(13分)

          精英家教網(wǎng)方法2:依條件建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
          所以A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1)
          (Ⅰ)略(3分)
          (Ⅱ)解:顯然
          CB
          =(0,1,0)是平面PAC的一
          個法向量.
          設(shè)n=(x,y,z)是平面PAB的一個法向量,
          因為
          AP
          =(-2,0,1),
          AB
          =(-2,1,0),
          所以由n•
          AP
          =0,n•
          AB
          =0解得n=(1,2,2).(6分)
          設(shè)二面角B-AP-C的大小為θ,
          所以cosθ=
          CB
          ?n
          |
          CB
          ||n|
          =
          2
          3

          所以二面角B-AP-C的大小為arccos
          2
          3
          .(arccos
          2
          3
          =arctan
          5
          2
          )(8分)
          (Ⅲ)解:設(shè)PF與平面PAB所成的角為α,
          由(Ⅱ)知平面PAB的一個法向量n=(1,2,2).
          FP
          =(-1,0,1),
          所以cos(
          π
          2
          -α)=
          FP
          ?n
          |
          FP
          ||n|
          =
          2
          6
          .(11分)
          所以sinα=
          2
          6

          所以α=arcsin
          2
          6

          即直線AC與平面PAB所成角的大小是arcsin
          2
          6
          .(13分)
          點(diǎn)評:本題考查直線與平面垂直和平行的判定,直線與平面所成的角,空間向量的數(shù)量積,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
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          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,△PAB是等邊三角形,∠PAC=∠PBC=90°.
          (1)證明:AB⊥PC;
          (2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱錐P-ABC的體積.

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          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=
          π2
          ,PA=2,AB=AC=4,點(diǎn)D、E、F分別為BC、AB、AC的中點(diǎn).
          (I)求證:EF⊥平面PAD;
          (II)求點(diǎn)A到平面PEF的距離;
          (III)求二面角E-PF-A的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC.
          (Ⅰ)當(dāng)k=
          12
          時,求直線PA與平面PBC所成角的大。
          (Ⅱ)當(dāng)k取何值時,O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,△ABC為正三角形,D、E、F分別是BC,PB,CA的中點(diǎn).
          (1)證明平面PBF⊥平面PAC;
          (2)判斷AE是否平行于平面PFD,并說明理由;
          (3)若PC=AB=2,求三棱錐P-DEF的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在正三棱錐P-ABC中,M,N分別是PB,PC的中點(diǎn),若截面AMN⊥側(cè)面PBC,則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是
          6
          6
          6
          6

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