Question

如圖，P是圓x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的投影是D，點(diǎn)M滿足

DM

=

1

2

DP

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）過點(diǎn)N（3，0）的直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，求以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程．
（3）若存在點(diǎn)Q（a，0），使得四邊形QAFB為菱形（A，B意義同（2）），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），將其代入點(diǎn)M滿足

DM

=12

DP

，用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入圓x²+y²=4，化簡(jiǎn)即可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，根據(jù)方程可知曲線的形狀；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，

OE

=

OA

+

OB

，即可求得頂點(diǎn)E的軌跡方程；
（3）若存在點(diǎn)Q（a，0），使得四邊形QAFB為菱形，可得QA=AB，代入，因式分解，利用韋達(dá)定理，用k表示a，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），P（x₀，y₀），
∵點(diǎn)M滿足

DM

=

1

2

DP

．
∴x₀=x，y₀=2y
∵點(diǎn)P是圓x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，
∴x²+4y²=4
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程：

x2

4

+y2=1，其圖形為橢圓．

（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)題意設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0
∵直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴△=（-24k²）²-4（1+4k²）（+36k²-4）＞0，解得-

5

5

＜k＜

5

5

，
x₁+x₂=

24k2

1+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-6）=

-k

1+4k2

；
∵

OE

=

OA

+

OB

，即

x=x1+x2 y=y1+y2

，
∴x=

24k2

1+4k2

，y=

-6k

1+4k2

，
∴頂點(diǎn)E的軌跡方程：x2+4y2-6x=0  (0＜x＜

8

3

)．

（3）四邊形QAFB為菱形，則QA=AB，即（x₁-a）²+y₁²=（x₂-a）²+y₂²，
∴k=

y2-y1

x2-x1

= -

x1+x2-2a

y1+y2

=-

24k2-2a(1+4k2)

-6k

，
∴a=

18k2

2(1+4k2)

=

9

4+ 1 k2

，0＜k²＜

1

5

，解得0＜a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍：（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：考查代入法求軌跡方程，以及直線與圓錐曲線的綜合問題，這里側(cè)重與幾何圖形的幾何性質(zhì)的考查，是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題的橋梁，綜合性較強(qiáng)，特別是（3）的設(shè)問，把幾何問題和函數(shù)的值域結(jié)合起來，增加了題目的難度，屬難題．