Question

（理科）已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）若存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)0＜a＜b，證明：f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=xlnx代入不等式2f（x）≥-x²+ax-3，將不等式變形為a≤

2f(x)+x2+3

x

=2lnx+x+

3

x

，令g(x)=2lnx+x+

3

x

，將存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，轉(zhuǎn)化為a≤g（x）_max，求出g′（x），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）在x∈[

1

e

，e]上的最大值，從而可以求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求出f′（x），令F(x)=f(a)+f(x)-2f(

a+x

2

)，求出F′（x），利用函數(shù)的單調(diào)性求出當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值0，再根據(jù)b＞a，即可確定F（b）＞F（a），從而證得f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=xlnx，
∴2f（x）≥-x²+ax-3可變形為a≤

2f(x)+x2+3

x

=2lnx+x+

3

x

，
∴存在x∈[

1

e

，e]，使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，即a≤g（x）_max，
令g(x)=2lnx+x+

3

x

，
∴g′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x-1)(x+3)

x2

，
∴當(dāng)x∈(

1

e

，1)時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e）時(shí)，g'（x）＞0，
∴g（x）在[

1

e

，1)上單調(diào)遞減，g（x）在（1，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）的最大值只能在x=

1

e

或x=e處取得，
∵g(

1

e

)=3e+

1

e

-2，g(e)=e+2+

1

e

，
∴g(

1

e

)＞g(e)，
∴g(x)max=3e+

1

e

-2，
∴a≤3e+

1

e

-2；
（2）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
令F(x)=f(a)+f(x)-2f(

a+x

2

)，
∴F′(x)=f′(x)-f′(

a+x

2

)=lnx-ln

a+x

2

，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，當(dāng)a＜x時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
∴F（x）在（0，a）上為減函數(shù)，F(xiàn)（x）在（a，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)（x）_min=F（a）=0，
∵b＞a，
∴F（b）＞F（a），
∴f(a)+f(b)-2f(

a+b

2

)＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法．還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，然后求出跟對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．同時(shí)考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于難題．