Question

（2011•孝感模擬）已知一動圓M恒過點F（1，0），且總與直線x=-1相切．
（I）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點P（0，2）的直線l與曲線C交于A，B兩點，且直線l與x軸交于點E．設

PA

=λ

AE

，

PB

=μ

BE

，試問λ+μ是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由動圓M過點F（1，0），與直線l：x=-1相切，知圓心M到F的距離等于到直線l的距離，故點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，由此能求出動圓圓心M的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2（k≠0），由

y=kx+2 y2=4x

，得k²x²+（4k-4）x+4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-

2

k

，0），則x1+x2=-

4k-4

k2

，x1x2=

4

k2

，由此能求出λ+μ為定值．

解答：解：（I）∵動圓M過點F（1，0），
且與直線l：x=-1相切，
∴圓心M到F的距離等于到直線l的距離，
∴點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，
且

p

2

=1，p=2，
∴所求的軌跡方程為y²=4x．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2（k≠0），
聯(lián)立方程，得

y=kx+2 y2=4x

，
消去y，得k²x²+（4k-4）x+4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-

2

k

，0），
則x1+x2=-

4k-4

k2

，x1x2=

4

k2

，

PA

=(x1，y1-2)，

PB

=(x2，y2-2)，

AE

=(-

2

k

-x1，-y1)，

BE

=(-

2

k

-x2，-y2)，
∴（x₁，y₁-2）=λ（-

2

k

-x1，-y₁），
（x₂，y₂-2）=μ（-

2

k

-x₂，-y₂），
得λ=

-kx1

kx1+2

，μ=

-kx2

kx2+2

，
則λ+μ=

-2k2x1x2-2k(x1+x2)

k2x1x2+2k(x1+x2)+4

，
把x1+x2=-

4k-4

k2

，x1x2=

4

k2

代入，得λ+μ=-1，
即λ+μ為定值-1．

點評：本題考查軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．