Question

【題目】設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（0，1）和（1，4），且對于任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；
（3）設(shè)g（x）=kx+1，若G（x）=在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
解：（1）由題意知
（2）F（x）=g（x）﹣f（x）=﹣x2+（k﹣2）x，x∈[1，2]，對稱軸x=
當(dāng)≤3，即k≤5時(shí)，F(xiàn)（x）max=F（2）=2k﹣8
當(dāng)，即k＞5時(shí)，F(xiàn)（x）max=F（1）=k﹣3
綜上所述，
（3）G（x）==，
由G（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)得F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上為增函數(shù)且恒非負(fù)
故
【解析】（1）利用題意，推出混合組，求出a、b、c，即可求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）化簡函數(shù)F（x）=g（x）﹣f（x）的表達(dá)式，通過對稱軸所在位置，討論即可求F（x）在[1，2]上的最小值
（3）通過化簡表達(dá)式，在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化F（x）=﹣x2+（k﹣2）x在[1，2]上為增函數(shù)且恒非負(fù)，得到不等式組，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．