Question

（2012•黃浦區(qū)一模）已知函數y=f（x）是R上的偶函數，當x≥0時，有f（x）=

2 π |x-π| (x＞ π 2 ) sinx  (0≤x≤ π 2 )

關于x的方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數根，若α是四個根中的最大根，則sin（

π

3

+α）=

-

1

2

．

Answer 1

分析：同一坐標系內作出函數y=f（x）的圖象和直線y=m，因為兩圖象有且僅有四個公共點，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最大根α=

3π

2

，再代入再化簡，即可得到sin（

π

3

+α）的值．

解答：解：當x≥0時，函數在區(qū)間（0，

π

2

）和（π，+∞）上是增函數，在區(qū)間（

π

2

，π，）上是減函數
f（x）的極大值為f（

π

2

）=1，極小值為f（π）=0
作出函數當x≥0時的圖象如右圖
∵函數y=f（x）是R上的偶函數，
∴當x＜0時y=f（x）的圖象與當x≥0時的圖象關于y軸對稱，故函數x∈R時的圖象如圖所示
將直線y=m進行平移，可得當m=1時，兩圖象有且僅有四個不同的公共點，
相應地方程f（x）=m（m∈R）有且僅有四個不同的實數根．
令f（x）=1，得x_1，2=±

π

2

，x_3，4=±

3π

2

，所以α=

3π

2

，
∴sin（

π

3

+α）=sin（

π

3

+

3π

2

）=sin

11π

6

=-

1

2

故答案為：-

1

2

點評：本題以分段函數為例，求方程的最大根和最小根，并且用這個根來求值，著重考查了函數與方程的關系，以及三角函數求值等知識，屬于中檔題．