Question

如圖，已知△ABC中，∠C=

π

2

．設(shè)∠CBA=θ，BC=a，它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上，D、G分別在AC、BC上．假設(shè)△ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T．
（1）用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T；
（2）設(shè)f(θ)=

T

S

，試求f（θ）的最大值P，并判斷此時(shí)△ABC的形狀；
（3）通過對此題的解答，我們是否可以作如下推斷：若需要從一塊直角三角形的材料上裁剪一整塊正方形（不得拼接），則這塊材料的最大利用率要視該直角三角形的具體形狀而定，但最大利用率不會(huì)超過第（2）小題中的結(jié)論P(yáng)．請分析此推斷是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得AC=a•tanθ，故S=

1

2

•a•a•tanθ=

a2

2

tanθ，θ∈(0，

π

2

)．設(shè)正方形DEFG邊長為m，則CG=mcosθ，BG=

m

sinθ

，由此求出BC和m，再由T=m²求得結(jié)果．
（2）化簡f(θ)=

T

S

=

1 sin2θ 4 + 1 sin2θ +1 ，θ∈(0， π 2 )，

令u=

sin2θ

4

+

1

sin2θ

+1，sin2θ∈(0，1]．故當(dāng)sin2θ=1時(shí)，u取得最小值，即f（θ）取得最大值，此時(shí)，sin2θ=1，θ=

π

4

．△ABC為等腰直角三角形．
（3）此推斷不正確，若以如圖方法裁剪，S=

a2

2

tanθ，求出m和T，代入f（θ）=

T

S

化簡可得

1 tanθ 2 + 1 2tanθ +1

，θ∈(0，

π

2

)，當(dāng)且僅當(dāng)

tanθ

2

=

1

2tanθ

，tanθ=1，即 θ=

π

4

 時(shí)，u取得最小值1，f（θ） 的最大值為

1

2

．此時(shí)△ABC為等腰直角三角形，再由

1

2

＞

4

9

，得出結(jié)論．

解答：（1）解：∵在△ABC中，∴∠CBA=θ，BC=a．
∴AC=a•tanθ．
∴S=

1

2

•a•a•tanθ=

a2

2

tanθ，θ∈(0，

π

2

)．
設(shè)正方形DEFG邊長為m，則CG=mcosθ，BG=

m

sinθ

，
∴BC=mcosθ+

m

sinθ

=a．
∴m=

asinθ

1+sinθ•cosθ

，
∴T=m2=

a2sin2θ

(1+sinθ•cosθ)2

，θ∈(0，

π

2

)．…（6分）
（2）解：由（1）可得

f(θ)= T S = a2sin2θ (1+sinθcosθ)2 • 2 a2tanθ

=

2sinθcosθ

(1+sinθcosθ)2

 
=

sin2θ 1 4 sin22θ+sin2θ+1

=

1 sin2θ 4 + 1 sin2θ +1 ，θ∈(0， π 2 )，

 
令u=

sin2θ

4

+

1

sin2θ

+1，sin2θ∈(0，1]．
∴當(dāng)sin2θ=1時(shí)，u取得最小值，即f（θ）取得最大值．
∴f(θ)=

T

S

的最大值為

4

9

．此時(shí) sin2θ=1，θ=

π

4

．∴△ABC為等腰直角三角形．…（12分）
（3）解：此推斷不正確，若以如圖方法裁剪，S=

a2

2

tanθ．
設(shè)正方形邊長為m，∵

m

a-m

=tanθ，∴m=

atanθ

tanθ+1

，∴T=m²=(

atanθ

tanθ+1

)2．
∴f（θ）=

T

S

=

a2•tan2θ

tan2θ+2tanθ+1

•

2

a2•tanθ

=

2tanθ tan2θ+2tanθ+1 = 1 tanθ 2 + 1 2tanθ +1   ，  θ∈(0， π 2 )．

令 u=

tanθ

2

+

1

2tanθ

 ，tanθ∈(0，+∞)，
當(dāng)且僅當(dāng)

tanθ

2

=

1

2tanθ

，tanθ=1，即 θ=

π

4

 時(shí)，u取得最小值1．∴f（θ） 的最大值為

1

2

．
此時(shí)△ABC為等腰直角三角形．∵

1

2

＞

4

9

，
∴材料的最大利用率超過了

4

9

，∴該推斷并不正確．              …（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查在實(shí)際問題中運(yùn)用三角函數(shù)模型，解三角形，屬于中檔題．