Question

已知點的序列A_n（x_n，0），n∈N，其中x₁=0，x₂=a（a＞0），A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，…．
（Ⅰ）寫出x_n與x_n-1、x_x-2之間的關(guān)系式（n≥3）；
（Ⅱ）設(shè)a_n=x_n+1-x_n，計算a₁，a₂，a₃，由此推測數(shù)列{a_n}的通項公式，并加以證明；
（Ⅲ）求

lim

n→∞

xn．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，可得x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式，
（II）由題意知a₁=a，a₂=-

1

2

a，a₃=

1

4

a，由此推測：a_n=（-

1

2

）^n-1a（n∈N^*）再進(jìn)行證明．
（III）首先求出x_n，然后根據(jù)（II）知{a_n}是公比為-

1

2

的等比數(shù)列，求出結(jié)果．

解答：解：（I）當(dāng)n≥3時，xn=

xn-1+xn-2

2

（II）a₁=x₂-x₁=aa2=x3-x2=

x2+x1

2

-x2=-

1

2

(x2-x1)=-

1

2

aa3=x4-x2=

x3+x2

2

-x3=-

1

2

(x3-x2)=-

1

2

(-

1

2

a)=

1

4

a．
由此推測．an=(-

1

2

)n-1a（n∈N）
因為a₁=a＞0，且  
 an=xn+1-xn=

xn+xn-1

2

-xn=

xn-1-xn

2

=-

1

2

(xn-xn-1)=-

1

2

an-1（n≥2）
所以an=(-

1

2

)n-1a．
（III）解：當(dāng)n≥3時，有x_n=（x_n-x_n-1）+（x_n-1-x_n-2）+…+（x₂-x₁）+x₁=a_n-1+a_n-2+…+a₁，
由（II）知{a_n}是公比為-

1

2

的等比數(shù)列，所以

lim

n→∞

xn=

a1

1-(- 1 2 )

=

2

3

a．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用以及數(shù)列的極限，解題時要注意公式的靈活運用．屬于中檔題．