Question

設(shè)關(guān)于x的方程2x²－ax－2=0的兩根為α、β(α＜β),函數(shù)f(x)=. 

(1)求f(α)·f(β)的值；

(2)證明f(x)是［α，β］上的增函數(shù)；

(3)當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在區(qū)間［α，β］上的最大值與最小值之差最小？

Answer 1

(1)16， (2)證明略(3) f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此時(shí)a=0,f(β)=2

解析:

(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4，f(α)·f(β)=4×4=16

(2)設(shè)φ(x)=2x²－ax－2,則當(dāng)α＜x＜β時(shí)，φ(x)＜0,

∴函數(shù)f(x)在(α，β)上是增函數(shù)

(3)函數(shù)f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,

∵|f(α)·f(β)|=4,

∴當(dāng)且僅當(dāng)f(β)=－f(α)=2時(shí)，

f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此時(shí)a=0,f(β)=2.