Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓B：（x-1）²+y²=16與點A（-1，0），P為圓B上的動點，線段PA的垂直平分線交直線PB于點R，點R的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）曲線C與x軸正半軸交點記為Q，過原點O且不與x軸重合的直線與曲線C的交點記為M，N，連接QM，QN，分別交直線x=t（t為常數(shù)，且t≠2）于點E，F(xiàn)，設(shè)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，求y₁•y₂的值（用t表示）．

Answer 1

解：（1）連接RA，由題意得，|RA|=|RP|，|RP|+|RB|=4，
∴|RA|+|RB|=4＞|AB|=2，
由橢圓定義得，點R的軌跡方程是．
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則N（-x₀，-y₀），QM，QN的斜率分別為k_QM，k_QN，
則，，
∴直線QM的方程為，直線QN的方程，
令x=t（t≠2），則，
又∵（x₀，y₀）在橢圓，∴，
∴，其中t為常數(shù)．
分析：（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義即可得出；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），則N（-x₀，-y₀），由Q（2，0），可分別表示出QM，QN的斜率，利用點斜式即可得到直線QM，QN的方程，進而即可得到點E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)，再利用點M，N在橢圓上，滿足橢圓的方程即可得出．
點評：熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義及其性質(zhì)、直線的斜率計算公式和點斜式等是解題的關(guān)鍵．