Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（2）若（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)。（2）證明見解析。

【解析】

（1）求出，得，然后求出導(dǎo)函數(shù)，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)g增區(qū)間，g求得的范圍，可得函數(shù)g的減區(qū)間；（2）因?yàn)?/span>，令，再次求導(dǎo)可證明在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，在區(qū)間上，是減函數(shù)，在區(qū)間上，是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，只需證明即可.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

，

①當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，由得，

所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)；

（2）因?yàn)?/span>，令，則，

因?yàn)?/span>，所以，

即在是增函數(shù)，

下面證明在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，，

又因?yàn)?/span>，所以，，

由零點(diǎn)存在定理可知，在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，

在區(qū)間上，，是減函數(shù)，

在區(qū)間上，，是增函數(shù)，

故當(dāng)時(shí)，取得最小值，

因?yàn)?/span>，所以，

所以 ，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，.