【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論
的單調(diào)性；
（2）若
，設(shè)
，證明：
，
，使
.
【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.
【解析】
（1）
，分
，
，
，
四種情況討論即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為
，利用導(dǎo)數(shù)找到
與
即可證明.
（1）
.
①當(dāng)時，
恒成立，
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，
，所以，
在
上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù).
②當(dāng)時，
，
.
當(dāng)時，
；
當(dāng)
時，
；
當(dāng)
時，，所以，
在上是減函數(shù)，在
上是增函數(shù)，
在
上是減函數(shù).
③當(dāng)時，
，
則在
上是減函數(shù).
④當(dāng)時，
，
當(dāng)
時，；
當(dāng)
時，；
當(dāng)時，，
所以，在
上是減函數(shù)，
在
上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
（2）由題意，得.
由（1）知，當(dāng)，
時，
，
.
令
，
，
故
在上是減函數(shù)，有
，
所以
，從而
.
，
，
則
，
令
，顯然
在上是增函數(shù)，
且
，
，
所以存在
使
，
且
在
上是減函數(shù)，
在
上是增函數(shù)，
，
所以
，
所以
，命題成立.
第1卷單元月考期中期末系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公司甲、乙兩個班組分別試生產(chǎn)同一種規(guī)格的產(chǎn)品，已知此種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)檢測分?jǐn)?shù)不小于70時，該產(chǎn)品為合格品，否則為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取兩個班組生產(chǎn)的此種產(chǎn)品各100件進(jìn)行檢測，其結(jié)果如下表：
質(zhì)量指標(biāo)檢測分?jǐn)?shù) | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù) | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù) | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計甲、乙兩個班組生產(chǎn)該種產(chǎn)品各自的不合格率；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95％的把握認(rèn)為該種產(chǎn)品的質(zhì)量與生產(chǎn)產(chǎn)品的班組有關(guān)？
甲班組 | 乙班組 | 合計 | |
合格品 | |||
次品 | |||
合計 |
（3）若按合格與不合格比例，從甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取4件產(chǎn)品，從乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取5件產(chǎn)品，記事件A：從上面4件甲班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，且都是合格品；事件B：從上面5件乙班組生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，一件是合格品，一件是次品，試估計這兩個事件哪一種情況發(fā)生的可能性大．
附：
P（K2≥k） | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】有下列命題：
①函數(shù)
與
的圖象關(guān)于
軸對稱；
②若函數(shù)
，則
，都有
；
③若函數(shù)
，
在
上單調(diào)遞增，則
；
④若函數(shù)
，則函數(shù)
的最小值為
．
其中真命題的序號是______．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐
的底面ABCD是邊長為2的正方形，且
.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長時，則
______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是平行四邊形，
，平面
底面，且
，
，
分別為
，
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求證：平面平面
；
（3）求三棱錐
的體積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后，左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直.則這個幾何體的體積為________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為
為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝asinθ（a≠0）.
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程；
（2）設(shè)直線l截圓C的弦長是半徑長的
倍，求a的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學(xué)的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學(xué)等六門選考科目構(gòu)成.將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8個等級.參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．
某校高一年級共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進(jìn)行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布N（60,169）．
（Ⅰ）求物理原始成績在區(qū)間（47,86）的人數(shù)；
（Ⅱ）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取3人，記X表示這3人中等級成績在區(qū)間[61,80]的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（附：若隨機(jī)變量
，則
，
，
）
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