Question

已知點P（-1，

3

2

）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓E的左、右焦點，O是坐標原點，PF₁⊥x軸．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設A、B是橢圓E上兩個動點，

PA

+

PB

=λ

PO

（0＜λ＜4，且λ≠2）．求證：直線AB的斜率等于橢圓E的離心率；
（3）在（2）的條件下，當△PAB面積取得最大值時，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）求出|PF₁|、|PF₂|，利用橢圓的定義，即可求得橢圓E的方程；
（2）利用

PA

+

PB

=λ

PO

確定坐標之間的關系，點的坐標代入方程，利用點差法，即可證得結論；
（3）設直線AB的方程與3x²+4y²=12聯(lián)立消去y并整理，求出|AB|、點P到直線AB的距離，從而可得△PAB的面積利用導數(shù)法求最大值，即可得到結論．

解答：（1）解：∵PF₁⊥x軸，∴F₁（-1，0），c=1，F(xiàn)₂（1，0），
∴|PF₂|=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2，∴b²=3，
∴橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；…（3分）
（2）證明：設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由 

PA

+

PB

=λ

PO

得（x₁+1，y₁-

3

2

）+（x₂+1，y₂-

3

2

）=λ（1，-

3

2

），
所以x₁+x₂=λ-2，y₁+y₂=

3

2

（2-λ）…①…（5分）
又3

x

2 1

+4

y

2 1

=12，3

x

2 2

+4

y

2 2

=12，
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0…．．②
以①式代入可得AB的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

=

c

a

=e；…（8分）
（3）解：設直線AB的方程為y=

1

2

x+t，與3x²+4y²=12聯(lián)立消去y并整理得 x²+tx+t²-3=0，△=3（4-t²），
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 4

×

3(4-t2)

=

15

2

×

4-t2

，
點P到直線AB的距離為d=

2|t-2|

5

，
△PAB的面積為S=

1

2

|AB|×d=

3

2

×

4-t2

|t-2|，…（10分）
設f（t）=S²=-

3

4

（t⁴-4t³+16t-16）（-2＜t＜2），
f′（t）=-3（t³-3t²+4）=-3（t+1）（t-2）²，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．
當t∈（-2，-1）時，f′（t）＞0，當t∈（-1，2）時，f′（t）＜0，f（t）=-1時取得最大值

81

4

，
所以S的最大值為

9

2

．
此時x₁+x₂=-t=1=λ-2，λ=3．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查點差法，考查直線與橢圓的位置關系，考查導數(shù)知識的運用，確定三角形的面積是關鍵．