Question

（1）若對于任意的n∈N^*，總有成立，求常數(shù)A，B的值；
（2）在數(shù)列{a_n}中，，（n≥2，n∈N^*），求通項a_n；
（3）在（2）題的條件下，設(shè)，從數(shù)列{b_n}中依次取出第k₁項，第k₂項，…第k_n項，按原來的順序組成新的數(shù)列{c_n}，其中，其中k₁=m，k_n+1-k_n=r∈N^*．試問是否存在正整數(shù)m，r使且成立？若存在，求正整數(shù)m，r的值；不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題設(shè)得A（n+1）+Bn=n+2即（A+B）n+A=n+2恒成立，
所以A=2，B=-1．（4分）
（2）由題設(shè)（n≥2）又得，，且，
即是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，（8分）
所以．即為所求．（9分）
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，由（2）知
顯然，
又得，
即{c_n}是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（11分）
于是=，（12分）
由得，m，r∈N^*，
所以2^m-2^m-r=14或15，（14分）
當2^m-2^m-r=14時，m=4，r=3；
當2^m-2^m-r=15時，m=4，r=4；
綜上，存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，m=4，r=3或m=4，r=4．（16分）
分析：（1）由題設(shè)得（A+B）n+A=n+2恒成立，所以A=2，B=-1．
（2）由（n≥2）和知，，且，由此能推導(dǎo)出．
（3）假設(shè)存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，由，，又得，．于是=，由此能推導(dǎo)出存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，m=4，r=3或m=4，r=4．
點評：本題考查數(shù)列中參數(shù)的求法、等差數(shù)列的通項公式和以極限為載體考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．