Question

已知函數(shù)f（x）=ax+b，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時(shí)值域?yàn)閇a₂，b₂]，當(dāng)x∈[a₂，b₂]時(shí)值域?yàn)閇a₃，b₃]，當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)值域?yàn)閇a_n，b_n]…其中a、b為常數(shù)，a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，b=2，求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使數(shù)列{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值．
（3）若a＞0，設(shè)數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，求T_n-S_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a=1，b=2，可得f（x）=x+2．函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)值域?yàn)閇a_n，b_n]．
可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+2，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+2，由a₁及b₁，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+b單調(diào)遞增，可得當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，（*）
因?yàn)楫?dāng)b_n=b_n-1時(shí)，b_n=1，b=1-a，故b≠1-a（a＞0，a≠1），再利用數(shù)列{b_n}的公比為q，b₁=1，對(duì)于（*）分別取n=2，3可得即可解得b的值．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+b單調(diào)遞增，可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，
①當(dāng)a=1時(shí)，a_n=0+（n-1）•b，b_n=1+（n-1）b，由b_n-a_n=1即可得出T_n-S_n．
②當(dāng)a≠1時(shí)，由，，
可得，，可得，于是T_n-S_n=1+a+a²+…+a^n-1．
解答：解：（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈[a_n-1，b_n-1]時(shí)值域?yàn)閇a_n，b_n]．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+2，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+2，
又a₁=0，b₁=1，
∴a_n=0+（n-1）×2=2n-2，b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
即a_n=2n-2，b_n=2n-1．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+b單調(diào)遞增，∴當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，（*）
當(dāng)b_n=b_n-1時(shí)，b_n=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，又b₁=1，對(duì)于（*）分別取n=2，3可得
化為b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故當(dāng)b=0時(shí)數(shù)列{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列．
因此b=0．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+b單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，
①當(dāng)a=1時(shí)，a_n=0+（n-1）•b，b_n=1+（n-1）b，
∴T_n-S_n=1+1+…+1=n．
②當(dāng)a≠1時(shí)，由，，
可得，，
∴可得，
∴T_n-S_n=1+a+a²+…+a^n-1=．
綜上可知：當(dāng)a=1時(shí)，T_n-S_n=n；
當(dāng)a≠1時(shí)，T_n-S_n=．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握一次函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類(lèi)討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．