Question

設(shè)m∈{1，2，3，4}，n∈{-12，-8，-4，-2}，則函數(shù)f（x）=x³+mx+n在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意易得，f（x）=x³+mx+n在R上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得若函數(shù)f（x）=x³+mx+n在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，必須有，解可得-2m-8≤n≤-m-1，進(jìn)而分m=1、m=2、m=3、m=4四種情況討論，求出滿(mǎn)足-2m-8≤n≤-m-1的n的值，可得滿(mǎn)足f（x）在[1，2]上有零點(diǎn)的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理可得函數(shù)f（x）=x³+mx+n的解析式的情況數(shù)目，進(jìn)而由等可能事件的概率，計(jì)算可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，f′（x）=3x²+m，又由m＞0，則f′（x）=3x²+m＞0；
故f（x）=x³+mx+n在R上單調(diào)遞增，
則若函數(shù)f（x）=x³+mx+n在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，
只需滿(mǎn)足條件，
從而解得m+n≤-1且2m+n≥-8，
∴-2m-8≤n≤-m-1，
當(dāng)m=1時(shí)，n取-2，-4，-8；
m=2時(shí)，n取-4，-8，-12；
m=3時(shí)，n取-4，-8，-12；
m=4時(shí)，n取-8，-12； 
共11種取法，
而m有4種選法，n有4種選法，則函數(shù)f（x）=x³+mx+n情況有4×4=16種，
故函數(shù)f（x）=x³+mx+n在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)的概率是；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率與函數(shù)零點(diǎn)的判定，關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定方法，分析出m、n之間的關(guān)系．